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汤家凤考研数学高等数学辅导讲义

目录

第 一章极限与连续 / 01

第 一节　函 数　01

第二节　极 限　04

第三节　连续与间断　11

重点题型讲解　13

题型一　极限的概念与性质　13

题型二　左、右极限　14

题型三　不定型极限的计算问题　15

题型四　n 项和或积的极限计算　20

题型五　极限存在性问题　23

题型六　含参数的极限问题　25

题型七　中值定理法求极限问题　26

题型八　含变积分限的函数极限问题　27

题型九　间断点及其分类　28

题型十　闭区间上连续函数性质　30

第二章导数与微分　/　31

第 一节　导数与微分的基本概念　31

第二节　求导公式与法则　34

第三节　隐函数与参数方程确定的函数的求导　36

重点题型讲解　38

题型一　导数与微分的基本概念　38

题型二　基本求导类型　41

题型三　导数的几何应用　46

题型四　高阶导数　47

第三章一元函数微分学的应用　/　49

第 一节　中值定理　49

第二节　单调性与极值、凹凸性与拐点、函数作图　54

重点题型讲解　57

题型一　证明f(n)(ξ)=0　57

题型二　待证结论中只有一个中值ξ,不含其他字母　59

题型三　结论中含ξ,含a,b　63

题型四　结论中含两个或两个以上中值的问题　65

题型五　中值定理中关于θ的问题　68

题型六　拉格朗日中值定理的两种惯性思维　69

题型七　泰勒公式的常规证明问题　70

题型八　二阶导数保号性问题　73

题型九　不等式证明　74

题型十　函数的零点或方程根的个数问题　78

题型十一　函数的单调性与极值、渐近线　80

第四章不定积分　/　82

第 一节　不定积分的概念与基本性质　82

第二节　不定积分基本公式与积分法　83

第三节　两类重要函数的不定积分

———有理函数与三角有理函数(数学三不要求)　87

重点题型讲解　88

题型一　不定积分的基本概念与性质　88

题型二　换元积分法　89

题型三　分部积分法　91

题型四　两类特殊函数的不定积分

———有理函数与三角有理函数的不定积分(数学三不要求)　93

题型五　分段函数的积分　96

题型六　综合型不定积分(数学三不要求)　97

第五章定积分及其应用　/　98

第 一节　定积分的概念与基本性质　98

第二节　基本理论　101

第三节　广义积分　104

第四节　定积分的应用　108

重点题型讲解　111

题型一　定积分的概念与性质　111

题型二　变积分限的函数问题　112

题型三　定积分的计算　114

题型四　定积分的证明　118

题型五　广义积分　126

题型六　定积分的应用　128

第六章多元函数微分学　/　132

第 一节　多元函数微分学的基本概念　132

第二节　多元函数基本理论　135

第三节　多元函数微分学的应用　141

第四节　多元函数微分学的物理与几何应用(数学二、三不要求)　142

重点题型讲解　144

题型一　多元函数极限、连续、可偏导、可微等基本概念的问题　144

题型二　各种偏导数求法　145

题型三　求偏导的反问题　150

题型四　偏导数的代数应用　150

题型五　多元函数微分学在几何上的应用(数学二、三不要求)　153

题型六　场论的概念(数学二、三不要求)　154

第七章微分方程　/　155

第 一节　微分方程的基本概念　155

第二节　一阶微分方程的种类及解法　156

第三节　可降阶的高阶微分方程(数学三不要求)　159

第四节　高阶微分方程　159

重点题型讲解　162

题型一　微分方程的基本概念与性质　162

题型二　一阶微分方程的求解　162

题型三　非特定类型微分方程或变换下微分方程的求解　164

题型四　可降阶的高阶微分方程求解(数学三不要求)　165

题型五　高阶线性微分方程求解　165

题型六　微分方程的应用　167

题型七　欧拉方程求解(数学二、三不要求)　169

第八章重　积 分 /　170

第 一节　二重积分　170

第二节　三重积分(数学二、三不要求)　175

二重积分重点题型讲解　179

题型一　二重积分的概念与性质　179

题型二　改变积分次序　180

题型三　二重积分的计算　182

题型四　二重积分的综合问题　188

题型五　二重积分的应用(数学二、三不要求)　189

三重积分重点题型讲解(数学二、三不要求)　190

题型一　三重积分的计算　190

题型二　三重积分的应用　191

第九章级　数（数学二不要求） /　193

第 一节　常数项级数　193

第二节　幂 级 数　201

第三节　傅里叶级数(数学三不要求)　205

重点题型讲解　207

题型一　常数项级数的基本性质与敛散性判断　207

题型二　常数项级数敛散性证明　210

题型三　幂级数的收敛半径与收敛域　212

题型四　函数展开成幂级数　213

题型五　幂级数的和函数　214

题型六　特殊常数项级数求和　218

题型七　傅里叶级数(数学三不要求)　219

第十章空间解析几何（数学二、三不要求）　/　221

第 一节　空间解析几何的理论　221

第二节　向量的应用　223

重点题型讲解　227

题型一　向量的运算与性质　227

题型二　平面方程　228

题型三　直线方程　229

题型四　距离与夹角　229

题型五　旋转曲面　230

第十一章曲线积分与曲面积分（数学二、三不要求）　/　231

第 一节　曲线积分　231

第二节　曲面积分　237

第三节　场论初步　242

重点题型讲解　243

题型一　对弧长的曲线积分　243

题型二　二维空间对坐标的曲线积分　244

题型三　三维空间对坐标的曲线积分　247

题型四　对坐标的曲线积分的应用　249

题型五　对面积的曲面积分　250

题型六　对坐标的曲面积分　252

题型七　场论初步　254

第十二章数学的经济应用(数学一、二不要求)　/　256

第 一节　差分方程　256

第二节　边际与弹性　257

第三节　现值与利息　259

汤家凤，南京大学博士，著名考研数学辅导专家，连续多年从事考研数学教学工作，能融会贯通的讲授高等数学、线性代数和概率论与数理统计三门课程的名师，以其专业的知识与能力和独特的讲课风格深受学生的喜爱，每年都指导出大量高分甚至满分学生，被学生誉为"满分教练"。

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